les nombres complexes

L'introduction des nombres complexes dans MegaPOV rend cette page nécessaire, pour compléter les décimaux.

et puis d'abord, c'est quoi un nombre complexe ?

C'est un nombre qui est formé de l'addition de deux nombres distincts, appelés respectivement "réel" et "imaginaire".

Les nombres réels, ce sont les nombres que nous utilisons tous les jours, et que nous avons appelé "décimaux" dans d'autres pages. C'est 0, 5, -12.4, 0.054, etc...

Les nombres imaginaires, ce sont des nombres réels multipliés par i, i valant racine de -1 : 0*i, 5*i, -12.4*i, 0.054*i, etc...

m'enfin, racine de -1, ça n'existe pas !

Effectivement, ça n'existe pas, mais ça permet de faire en sorte qu'un nombre imaginaire élevé au carré (exposant 2) puisse donner un résultat négatif ! (3*i)² = -9

et pourquoi veut-on obtenir un résultat négatif ?

Les propriétés mathématiques obtenues permettent de traiter plus facilement certains phénomènes physiques (les calculs liés au courant triphasé par exemple) ou d'explorer des voies mathématiques particulières.

l'espace des nombres complexes

Un nombre complexe étant donc composé de deux valeurs, on peut aisément le situer sur un graphique à deux axes. En abscisse (l'axe x), on place les nombres réels : -2, -1, 0, 1, 2, 3... et en ordonnée (l'axe y) on place les nombres imaginaires : -2*i, -1*i, 0*i, 1*i, 2*i, 3*i... Ainsi, en chaque point du plan balisé par ces deux axes, on a un nombre complexe, correspondant à l'addition d'un réel et d'un imaginaire.

et à quoi ça sert, les nombres complexes ?

Ils sont utilisés (on l'a déjà dit plus haut) dans les calculs liés à certains phénomènes physiques, et ce sont également eux qui permettent la construction des ensembles de Julia et Mandelbrot.

syntaxe

Le nombre complexe se présente sous la forme d'un vecteur à 2 dimensions (ce qui correspond très logiquement à une position d'un point dans le plan x-y).

#declare Cplx1 = ;
#declare Cplx2 = <-1 , 3.02>; //représente le nombre complexe (-1 + 3.02*i)

Bien entendu, le *i est implicite.

opérations sur les nombres complexes

Les règles pour effectuer la plupart des opérations mathématiques sur les nombres complexes sont légèrement différentes de celles employées pour de simples réels, d'où la nécessité d'une tripotée de fonctions spécifiques.

note : l'ensemble des réels (R) est un sous-ensemble de celui des complexes (C), ainsi le résultat du carré d'un nombre complexe ayant une partie réelle nulle (0 + n*i) étant un réel, est donc également un complexe.

Dans les fonctions qui suivent, C représente un nombre complexe, et la valeur retournée est également un nombre complexe.

csqr(C) C au carré
csqrt(C) racine carrée de C
cmult(C1,C2) C1 multiplié par C2
cdiv(C1,C2) C1 divisé par C2
cexp(C) e puissance C
clog(C) logarithme (en base 10 ?) de C
cpow(C1,C2) C1 puissance C2

csin(C) sinus de C
ccos(C) cosinus de C
ctan(C) tangente de C
csinh(C) sinus hyperbolique de C
ccosh(C) cosinus hyperbolique de C
ctanh(C) tangente hyperbolique de C
casin(C) arc-sinus de C
cacos(C) arc-cosinus de C
catan(C) arc-tangente de C
casinh(C) arc-sinus hyperbolique de C
cacosh(C) arc-cosinus hyperbolique de C
catanh(C) arc-tangente hyperbolique de C

cconj(C) conjugaison complexe de C
(soit z=a+ib, on appelle zbar le complexe conjugué de z, zbar=a-ib)

rédacteur : Fabien Mosen